Il y a flambement ou instabilité élastique d'une structure soumise à un système de charges lorsque pour une valeur particulière de ce système, les déplacements deviennent considérables, les forces extérieures conservant des intensités finies. Les déplacements ne sont donc plus des fonctions linéaires des forces appliquées.
L'analyse de flambement généralisé de Advance Design permet de déterminer la charge critique de flambement correspondant à l'obtention de l'instabilité de la structure considérée. Cette charge est obtenue par produit du coefficient multiplicateur critique et des charges statiques appliquées (une combinaison de charges par exemple).
Basée sur une hypothèse de petits déplacements, l'analyse suit la même démarche que celle utilisée pour l'analyse modale dynamique, la seule différence se situant dans la transformation de la matrice de masse en une matrice dite des contraintes initiales.
1. Instabilité de flambement
Le flambement est dit Eulérien quand la structure a un comportement élastique et linéaire avant de devenir instable.
Considérant un problème stationnaire, la relation entre forces et déplacements est donnée par :
[K]{q} = {F} <=> [[K 0 ]+[ K s ]] {q} = {F}
avec :[K 0 ]: matrice de rigidité associée aux petits déplacements
[Ks ]: matrice de rigidité associée aux contraintes initiales
Multiplions l'ensemble des charges appliquées par un coefficient l. Les équations d'équilibre s'écrivent :
l{F} = ([K 0 ]+l[ K s ]) {q}
Remarque : la matrice [K] a une solution non nulle si :det([K 0 ]+l[ K s ]) 10
Dans le cas contraire, la matrice de rigidité [K] est singulière et l représente le coefficient multiplicateur de charges associé à {F} permettant d'atteindre l'instabilité. Cette instabilité est fonction des efforts normaux ou contraintes de membrane. La charge critique de flambement peut donc s'écrire :{F}= l {F critique }.
La matrice de rigidité associée aux contraintes initiales d'un élément de poutre s'écrit :
Soit un mât encastré en pied de 5 mètres de haut, constitué d'un profilé métallique IPE300 , dont le matériau a un module d'Young de 210 106 KN/m2. Si je soumet ce profil à un effort de compression de 100KN, y a t-il un risque de flambement généralisé ?
La matrice de rigidité aux petits déplacement d'une telle poutre est donnée par :
Application numérique :
=> F
critique
= 12.6*100 = 126KN
à comparer avec la charge critique d'Euler théorique :
Les différentes hypothèses nécessaires au calcul sont définies dans le menu "Hypothèses / Flambement généralisé" d'Advance Design. Le cas 2 associé au calcul en flambement Eulérien est lié au cas 1 (charge de 100KN).
